02 – Prevody z dvojkovej do desiatkovej, z desiatkovej do šestnástkovej (a naopak)

Prevody z dvojkovej do desiatkovej sústavy

 

K týmto prevodom budeme opäť potrebovať pomocnú tabuľku s mocninami dvojky, takže nech sa páči:

 

mocnina	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	210
výsledok	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

 

Teraz si skúsime previesť číslo 10111₂ z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Jednotlivé cifry v tomto čísle nám povedia, koľkokrát sa nachádza príslušná mocnina dvojky vo výsledku.

 

Táto jednotka:

 

10111₂

 

reprezentuje počet nultých mocnín dvojky, teda 2⁰ sa vo výsledku nachádza 1-krát.

 

Takže zatiaľ máme 10111₂ = 1.2⁰ …..(toto ešte nie je koniec).

 

Ideme ďalej – táto jednotka

 

10111₂

 

reprezentuje počet prvých mocnín dvojky, teda 2¹ sa vo výsledku nachádza 1-krát.

 

Takže zatiaľ máme 10111₂ = 1.2⁰+1.2¹…. (toto ešte nie je koniec).

 

Pokračujeme – táto jednotka

 

10111₂

 

reprezentuje počet druhých mocnín dvojky, teda 2² sa vo výsledku nachádza 1-krát.

 

Takže zatiaľ máme 10111₂ = 1.2⁰+1.2¹+1.2²… (toto ešte nie je koniec).

 

Opäť pokračujeme, aj keď príde malá zmena, lebo prichádza nula

 

10111₂

 

reprezentuje počet tretích mocnín dvojky, teda 2³ sa vo výsledku nachádza 0-krát.

 

Takže zatiaľ máme 10111₂ = 1.2⁰+1.2¹+1.2²+0.2³…. (toto ešte nie je koniec).

 

A prichádza posledná cifra, opäť jednotka

 

10111₂

 

reprezentuje počet štvrtých mocnín dvojky, teda 2⁴ sa vo výsledku nachádza 1-krát.

 

Takže výsledok bude 10111₂ = 1.2⁰+1.2¹+1.2²+0.2³+1.2⁴ = 1 + 2 + 4 + 0 + 16 = 23₁₀. 

---

Prevody z desiatkovej do šestnástkovej sústavy

 

Keď sme pracovali s dvojkovou sústavou, potrebovali sme k tomu mocniny dvojky. K šestnástkovej sústave sa nám veru hodia mocniny 16-stky. Je ale pravda, že od pomerne nízkej mocniny sú to už pomerne vysoké čísla, obmedzíme sa preto iba na čísla do štvrtej mocniny 16stky. Nech sa páči:

 

mocnina	160	161	162	163	164
výsledok	1	16	256	4096	65536

 

Ďalšia vec: ak pracujeme v dvojkovej sústave, vystačia nám dve cifry (0 a 1).

 

Ak pracujeme v desiatkovej sústave, potrebujeme 10 cifier (0,..,9).

 

Logicky – ak budeme pracovať v šestnástkovej sústave, budeme potrebovať 16 cifier. 10 cifier máme hneď (od nuly po deviatku), zvyšných 6 cifier doplníme písmenkami: A, B, C, D, E, F, pričom tieto písmenká budú mať svoje hodnoty:

 

A = 10

B = 11

C = 12

D = 13

E = 14

F = 15

 

Keď už toto vieme, môžeme sa smelo pustiť do prevodu čísla z desiatkovej sústavy do šestnástkovej. Majme teda napríklad číslo 587₁₀.

 

Postup je úplne rovnaký ako pri prevádzaní čísel z desiatkovej do dvojkovej sústavy. Najskôr musím zistiť počet cifier výsledného šestnástkového čísla. Ako to urobím? Zistím, ktorá najvyššia mocnina šestnástky sa zmestí do čísla 587₁₀. Je to druhá mocnina (lebo 16² je 256). Podľa tohto viem, že moje výsledné číslo bude mať 3 cifry (jednu cifru pre zápis druhých mocnín 16stky, jednu cifru pre zápis prvých mocnín 16stky, jednu cifru pre zápis nultých mocnín 16stky).

 

teda

 

587₁₀ = _ _ _₁₆

 

A pýtam sa: koľko krát sa druhá mocnina šestnástky (číslo 256) zmestí do 584? Odpoveď je 2, zapíšem to na prvé miesto.

 

587₁₀ = 2 _ _₁₆

 

Týmto zápisom sme už 2.256 = 512 spracovali, koľko ešte potrebujeme spracovať? Odrátame:

 

587 – 512 = 75.

 

Ďalej budeme zisťovať, koľkokrát sa nám ďalšia mocnina 16stky (pozor, teraz už nehľadám najvyššiu mocninu, teraz už pracujem s ďalšou v poradí), v tomto prípade prvá mocnina 16stky zmestí do čísla 75. Odpoveď je 4 (lebo 16.4=64). Zapíšem

 

587₁₀ = 2 4 _₁₆

 

Týmto zápisom sme spracovali ďalších 64, koľko ešte potrebujeme spracovať (zapísať)? Odrátame:

 

75 – 64 = 11.

 

A pýtam sa poslednýkrát: koľkokrát sa mi ďalšia – v tomto prípade už nultá – mocnina šestnástky zmestí do čísla 11? Odpoveď je 11. Táto hodnota ale pozostáva z dvoch cifier (dvoch jednotiek), preto to nemôžem zapísať takto, ale namiesto 11stky použijem písmenko, ktorému bola priradená táto hodnota, teda písmenko B. Zapíšem:

 

587₁₀ = 2 4 B₁₆

 

Hotovo. 🙂

---

Prevody zo šestnástkovej do desiatkovej sústavy

 

Postup je úplne totožný s postupom uvedeným vyššie na tejto stránke, kde sme prevádzali čísla z dvojkovej do desiatkovej sústavy, akurát namiesto mocnín dvojky budeme pracovať s mocninami 16stky.

 

Skúsme si previesť číslo 1DF₁₆.

 

Táto posledná cifra

 

1DF₁₆

 

hovorí, že nultá mocnina 16stky sa vo výsledku nachádza F-krát, čiže 15-krát.

 

Zatiaľ teda máme  1DF₁₆ = 15.16⁰ … (toto ešte nie je koniec).

 

Ďalšia cifra (o áno, vždy to treba čítať sprava doľava, ak chcete postupovať presne podľa tohto návodu)

 

1DF₁₆

 

hovorí, že prvá mocnina 16stky sa vo výsledku nachádza D-krát, čiže 13-krát.

 

Zatiaľ teda máme  1DF₁₆ = 15.16⁰ +13.16¹…. (toto ešte nie je koniec).

 

Posledná cifra, ktorú sme ešte nespracovali, teda táto

 

1DF₁₆

 

hovorí, že druhá mocnina 16stky sa vo výsledku nachádza 1-krát.

 

Výsledok teda vyrátame ako  1DF₁₆ = 15.16⁰ +13.16¹+1.16² = 15 + 208 + 256 = 479₁₀

---

1. Preveďte nasledujúce čísla z dvojkovej sústavy do desiatkovej:
   1. 1010₂
   2. 111010₂
   3. 10011₂
   4. 111011₂
   5. 10011001₂
   6. 100110101₂
2. Preveďte nasledujúce čísla zo šestnáskovej do desiatkovej sústavy:
   1. 1A5₁₆
   2. F034₁₆
   3. AB5₁₆
   4. B0B0₁₆
   5. DED0₁₆
   6. F1FA₁₆
3. Preveďte nasledujúce čísla z desiatkovej do šestnáskovej sústavy:
   1. 100₁₆
   2. 4092₁₆
   3. 100 000₁₆
   4. 60 000₁₆
   5. 12 345₁₆
   6. 555₁₆